Physikalisches Modell
Quadratisches Modell (Newton-Reibung, große Reynolds-Zahl – typisch für Fallschirmspringer, Bälle, Tropfen in Luft)
Kräfte: FG = m·g (nach unten), FL = ½·cw·ρ·A·v² (entgegen der Bewegung)
Newton: m·a = FG − FL ⇒ a = g − (cw·ρ·A)/(2m) · v²
Grenzgeschwindigkeit (a = 0): vE = √( 2·m·g / (cw·ρ·A) )
Für v₀ = 0 gilt analytisch: v(t) = vE·tanh(g·t/vE), s(t) = (vE²/g)·ln cosh(g·t/vE)
Euler-Verfahren (Streckenzugverfahren) mit der Schrittweite Δt – in jedem Schritt wird die Beschleunigung als konstant angenommen:
ak = g − FL(vk)/m
vk+1 = vk + ak·Δt
sk+1 = sk + vk·Δt
tk+1 = tk + Δt
Die berechneten Punkte werden durch Strecken verbunden. Je kleiner Δt, desto näher liegt der Streckenzug an der genauen Lösung.
Ist Δt zu groß (vergleichbar mit der Zeitkonstante), schwingt die Lösung um vE oder wird instabil.
Lineares Modell (Stokes-Reibung, kleine Reynolds-Zahl – typisch für sehr kleine/langsame Körper, z. B. Kugel in Öl, Staub, Nebeltröpfchen)
Kräfte: FG = m·g (nach unten), FL = b·v (entgegen der Bewegung); für eine Kugel gilt b = 6·π·η·r
Newton: m·a = FG − FL ⇒ a = g − (b/m) · v
Grenzgeschwindigkeit (a = 0): vE = m·g / b, Zeitkonstante τ = m/b
Analytisch: v(t) = vE + (v₀ − vE)·e−t/τ, a(t) = (g − b·v₀/m)·e−t/τ
Beim Umschalten auf das lineare Modell wird b so gesetzt, dass sich dieselbe Grenzgeschwindigkeit wie im quadratischen Modell ergibt – so lassen sich die Kurvenformen direkt vergleichen.
Die „genaue Lösung“ wird numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren (Schrittweite 1 ms) berechnet. Positive Richtung: nach unten.